祖沖之（429～500）南北朝時期杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。數(shù)學(xué)方面，祖沖之推算出圓周率π的不足近似值（朒數(shù)）3.1415926和過剩近似值（盈數(shù)）3.1415927，指出π的真值在盈、朒兩限之間，即3.1415926＜π＜3.1415927，并用以校算新莽嘉量斛的容積。這個圓周率值是當時世界上最先進的數(shù)學(xué)成就。

求算圓周率的值是數(shù)學(xué)中一個非常重要也是非常困難的研究課題。中國古代許多數(shù)學(xué)家都致力于圓周率的計算，而公元5世紀祖沖之所取得的成就可以說是圓周率計算的一個躍進。祖沖之是中國古代偉大的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。祖沖之于公元429年出生在建康（今江蘇南京），他家歷代都對天文歷法有研究，他從小就接觸數(shù)學(xué)和天文知識，公元464年，祖沖之35歲時，他開始計算圓周率。

在中國古代，人們從實踐中認識到，圓的周長是“圓徑一而周三有余”，也就是圓的周長是圓直徑的三倍多，但是多多少，意見不一。在祖沖之之前，中國數(shù)學(xué)家劉徽提出了計算圓周率的科學(xué)方法－－“割圓術(shù)”，用圓內(nèi)接正多邊形的周長來逼近圓周長，用這種方法，劉徽計算圓周率到小數(shù)點后4位數(shù)。祖沖之在前人的基礎(chǔ)上，經(jīng)過刻苦鉆研，反復(fù)演算，將圓周率推算至小數(shù)點后7位數(shù)（即3.1415926與3.1415927之間），并得出了圓周率分數(shù)形式的近似值。祖沖之究竟用什么方法得出這一結(jié)果，現(xiàn)在無從查考。如果設(shè)想他按劉徽的“割圓術(shù)”方法去求的話，就要計算到圓內(nèi)接16000多邊形，這需要化費多少時間和付出多么巨大的勞動??！祖沖之計算得出的圓周率，外國數(shù)學(xué)家獲得同樣結(jié)果，已是一千多年以后的事了。為了紀念祖沖之的杰出貢獻，有些外國數(shù)學(xué)史家建議把圓周率π叫做“祖率”。除了在計算圓周率方面的成就，祖沖之還與他的兒子一起，用巧妙的方法解決了球體體積的計算。他們當時采用的原理，在西方被稱為“卡瓦列利”（Cavalieri）原理，但這是在祖沖之以后一千多年才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)的。為了紀念祖氏父子發(fā)現(xiàn)這一原理的重大貢獻，數(shù)學(xué)上也稱這一原理為“祖原理”。祖沖之在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的成就，只是中國古代數(shù)學(xué)成就的一個方面。實際上，14世紀以前中國一直是世界上數(shù)學(xué)最為發(fā)達的國家之一。比如幾何中的勾股定理，在中國早期的數(shù)學(xué)專著《周髀算經(jīng)》（大約于公元前2世紀成書）中即有論述；成書于公元1世紀的另一本重要的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》，在世界數(shù)學(xué)史上最早提出負數(shù)概念及正負數(shù)加減法法則；13世紀時，中國就已經(jīng)有了十次方程的解法，而直到16世紀，歐洲才提出三次方程的解法。

《隋書·律歷志》有如下記載：“宋末，南徐州從事祖沖之更開密法。以圓徑一億為丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。”這一記錄指出：祖沖之關(guān)于圓周率有兩大貢獻：其一是，求得圓周率：3.1415926＜π＜3.1415927。其二是，得到π的兩個近似分數(shù)：約率為22／7；密率為355／113。

這一結(jié)果是如何獲得的呢？追根溯源，正是基于對劉徽割圓術(shù)的繼承與發(fā)展，祖沖之才能得到這一非凡的成果。因而當我們稱頌祖沖之的功績時，不要忘記他的成就的取得是因為他站在數(shù)學(xué)偉人劉徽的肩膀上的緣故。后人曾推算若要單純地通過計算圓內(nèi)接多邊形邊長的話，得到這一結(jié)果，需要算到圓內(nèi)接正12288邊形，才能得到這樣精確度的值。祖沖之是否還使用了其它的巧妙辦法來簡化計算呢？這已經(jīng)不得而知，因為記載其研究成果的著作《綴術(shù)》早已失傳了。這在中國數(shù)學(xué)發(fā)展史上是一件極令人痛惜的事。

那么，祖沖之是如何取得這樣重大的科學(xué)成就呢？可以肯定，他的成就是建立在前人研究的基礎(chǔ)之上的。從當時的數(shù)學(xué)水平來看，祖沖之很可能是繼承了劉徽所創(chuàng)立和面卓首先使用的割圓術(shù)，并且加以發(fā)展，因此獲得了超越前人的重大成就。在前面，我們提到割圓術(shù)時已經(jīng)知道了這樣的結(jié)論：圓內(nèi)接正n邊形的邊數(shù)越多，各邊長的總和就越接近圓周的實際長度。但因為它是內(nèi)接的，又不可能把邊數(shù)增加到無限多，所以邊長總和永遠小于圓周。

祖沖之按照劉徽的割圓術(shù)之法，設(shè)了一個直徑為一丈的圓，在圓內(nèi)切割計算。當他切割到圓的內(nèi)接一百九十二邊形時，得到了“徽率”的數(shù)值。但他沒有滿足，繼續(xù)切割，作了三百八十四邊形、七百六十八邊形……一直切割到二萬四千五百七十六邊形，依次求出每個內(nèi)接正多邊形的邊長。最后求得直徑為一丈的圓，它的圓周長度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之間，上面的那些長度單位我們現(xiàn)在已不再通用，但換句話說：如果圓的半徑為1，那么圓周小于3.1415927、大大不到千萬分之一，它們的提出，大大方便了計算和實際應(yīng)用。

要作出這樣精密的計算，是一項極為細致而艱巨的腦力勞動。我們知道，在祖沖之那個時代，算盤還未出現(xiàn)，人們普遍使用的計算工具叫算籌，它是一根根幾寸長的方形或扁形的小棍子，有竹、木、鐵、玉等各種材料制成。通過對算籌的不同擺法，來表示各種數(shù)目，叫做籌算法。如果計算數(shù)字的位數(shù)越多，所需要擺放的面積就越大。用算籌來計算不象用筆，筆算可以留在紙上，而籌算每計算完一次就得重新擺動以進行新的計算；只能用筆記下計算結(jié)果，而無法得到較為直觀的圖形與算式。

因此只要一有差錯，比如算籌被碰偏了或者計算中出現(xiàn)了錯誤，就只能從頭開始。要求得祖沖之圓周率的數(shù)值，就需要對九位有的小數(shù)進行15927加、減、乘、除和開方運算等十多個步驟的計算，而每個步驟都要反復(fù)進行十幾次，開方運算有50次，最后計算出的數(shù)字達到小數(shù)點后十六、七位。今天，即使用算盤和紙筆來完成這些計算，也不是一件輕而易舉的事。讓我們想一想，在一千五百多年前的南朝時代，一位中年人在昏暗的油燈下，手中不停地算呀、記呀，還要經(jīng)常地重新擺放數(shù)以萬計的算籌，這是一件多么艱辛的事情，而且還需要日復(fù)一日地重復(fù)這種狀態(tài)，一個人要是沒有極大的毅力，是絕對完不成這項工作的。

1573年，德國人奧托得出這一結(jié)果。他是用阿基米德成果22／7與托勒密的結(jié)果377／120用類似于加成法"合成"的：(377-22)/(120-7)=355/113。1585年，荷蘭人安托尼茲用阿基米德的方法先求得：333/106＜π＜377/120，用兩者作為π的母近似值，分子、分母各取平均，通過加成法獲得結(jié)果：(333+377)/(106+120)=355/113。錢宗琮先生在《中國算學(xué)史》（1931年）中提出祖沖之采用了我們前面提到的由何承天首創(chuàng)的"調(diào)日法"或稱加權(quán)加成法。他設(shè)想了祖沖之求密率的過程：以徽率157／50，約率22／7為母近似值，并計算加成權(quán)數(shù)x=9，于是(157+22×9)/(50+7×9)=355/113，一舉得到密率。錢先生說："沖之在承天后，用其術(shù)以造密率，亦意中事耳。"另一種推測是：使用連分數(shù)法。由于求二自然數(shù)的最大公約數(shù)的更相減損術(shù)遠在《九章算術(shù)》成書時代已流行，所以借助這一工具求近似分數(shù)應(yīng)該是比較自然的。于是有人提出祖沖之可能是在求得盈二數(shù)之后，再使用這個工具，將3.14159265表示成連分數(shù)，得到其漸近分數(shù)：3，22／7，333／106，355／113，102573／32650…最后，取精確度很高但分子分母都較小的355／113作為圓周率的近似值。至于上面圓周率漸近分數(shù)的具體求法，這里略掉了。英國李約瑟博士持這一觀點。他在《中國科學(xué)技術(shù)史》卷三第19章幾何編中論祖沖之的密率說："密率的分數(shù)是一個連分數(shù)漸近數(shù)，因此是一個非凡的成就。"

這一光輝成就，也充分反映了我國古代數(shù)學(xué)高度發(fā)展的水平。祖沖之，不僅受到中國人民的敬仰，同時也受到世界各國科學(xué)界人士的推崇。祖沖之在圓周率方面的研究，有著積極的現(xiàn)實意義，適應(yīng)了當時生產(chǎn)實踐的需要。