人物簡介

《九章算術(shù)》約成書于東漢之初，共有246個問題的解法。在許多方面：如解聯(lián)立方程，分數(shù)四則運算，正負數(shù)運算，幾何圖形的體積面積計算等，都屬于世界先進之列。劉徽在曹魏景初四年注《九章算術(shù)注》。

但因解法比較原始，缺乏必要的證明，劉徽則對此均作了補充證明。在這些證明中，顯示了他在眾多方面的創(chuàng)造性貢獻。他是世界上最早提出十進小數(shù)概念的人，并用十進小數(shù)來表示無理數(shù)的立方根。在代數(shù)方面，他正確地提出了正負數(shù)的概念及其加減運算的法則，改進了線性方程組的解法。在幾何方面，提出了"割圓術(shù)"，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法。他利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率π=3.1416的結(jié)果。他用割圓術(shù)，從直徑為2尺的圓內(nèi)接正六邊形開始割圓，依次得正12邊形、正24邊形……，割得越細，正多邊形面積和圓面積之差越小，用他的原話說是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！彼嬎懔?072邊形面積并驗證了這個值。劉徽提出的計算圓周率的科學(xué)方法，奠定了此后千余年來中國圓周率計算在世界上的領(lǐng)先地位。

劉徽在數(shù)學(xué)上的貢獻極多，在開方不盡的問題中提出“求徽數(shù)”的思想，這方法與后來求無理根的近似值的方法一致，它不僅是圓周率精確計算的必要條件，而且促進了十進小數(shù)的產(chǎn)生；在線性方程組解法中，他創(chuàng)造了比直除法更簡便的互乘相消法，與現(xiàn)今解法基本一致；并在中國數(shù)學(xué)史上第一次提出了“不定方程問題”；他還建立了等差級數(shù)前n項和公式；提出并定義了許多數(shù)學(xué)概念：如冪（面積）；方程（線性方程組）；正負數(shù)等等．劉徽還提出了許多公認正確的判斷作為證明的前提．他的大多數(shù)推理、證明都合乎邏輯，十分嚴謹，從而把《九章算術(shù)》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基礎(chǔ)之上。雖然劉徽沒有寫出自成體系的著作，但他注《九章算術(shù)》所運用的數(shù)學(xué)知識，實際上已經(jīng)形成了一個獨具特色、包括概念和判斷、并以數(shù)學(xué)證明為其聯(lián)系紐帶的理論體系。

劉徽在割圓術(shù)中提出的"割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣"，這可視為中國古代極限觀念的佳作?！逗u算經(jīng)》一書中，劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目的創(chuàng)造性、復(fù)雜性和富有代表性，都在當(dāng)時為西方所矚目。劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀。他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學(xué)命題的人。精確到了小數(shù)點后5位。

主要作品

劉徽其代表作《九章算術(shù)注》是對《九章算術(shù)》一書的注解?！毒耪滤阈g(shù)》是中國流傳至今最古老的數(shù)學(xué)專著之一，它成書于西漢時期。這部書的完成經(jīng)過了一段歷史過程，書中所收集的各種數(shù)學(xué)問題，有些是秦以前流傳的問題，長期以來經(jīng)過多人刪補、修訂，最后由西漢時期的數(shù)學(xué)家整理完成?，F(xiàn)今流傳的定本的內(nèi)容在東漢之前已經(jīng)形成。

《九章算術(shù)》是中國最重要的一部經(jīng)典數(shù)學(xué)著作，它的完成奠定了中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)，在中國數(shù)學(xué)史上占有極為重要的地位?，F(xiàn)傳本《九章算術(shù)》共收集了246個應(yīng)用問題和各種問題的解法，分別隸屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章。

《九章算術(shù)》的產(chǎn)生是社會發(fā)展和數(shù)學(xué)知識長期積累的結(jié)果，它匯集了不同時期數(shù)學(xué)家的勞動成果。三國時的數(shù)學(xué)家劉徽認為：“周公制禮有九數(shù)，九數(shù)之流，則《九章》是矣。……漢北平侯張蒼、大司農(nóng)中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補。故校其目則與古或異，而所論多近語也?！备鶕?jù)劉徽的考證結(jié)果，《九章算術(shù)》源于周公時代的“九數(shù)”，而他所見到的《九章算術(shù)》是西漢時的張蒼、耿壽昌在先秦遺文的基礎(chǔ)上刪補而成的，其中包括了大量西漢時補充的內(nèi)容。根據(jù)歷史文獻和出土文物資料來分析，劉徽所言是可信的。

《九章算術(shù)》所包含的各種算法是漢朝數(shù)學(xué)家們在秦以前流傳下來的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，適應(yīng)當(dāng)時的需要補充修訂而成的。按照劉徽的考證，張蒼和耿壽昌都是參加過修訂工作的主要數(shù)學(xué)家?！妒酚洝堌┫嗔袀鳌酚涊d，張蒼（約公元前250～公元前152）經(jīng)歷了秦、漢兩個朝代，他在高帝六年（公元前201年）以攻藏茶有功封為北平侯。“自秦時為柱下史，明天下圖書計籍。又善用算律歷?！彼€“著書18篇，言陰陽律歷事?！惫鄄纳昴甏辉?，漢宣帝時官至大司農(nóng)中丞，“以善為算，能商功利”得寵于皇帝（見《漢書·食貨志》）。他于天文學(xué)主張渾天說，甘露二年（公元前52年）奏“以圓儀度日月行，考驗天運狀”（見《后漢書·律歷志》）。張蒼和耿壽昌都是數(shù)學(xué)名家，又身居高位，由他們主持修訂先秦流傳下來的《算術(shù)》是很自然的事情。根據(jù)劉徽的記載，他所注釋的《九章算術(shù)》最后是由耿壽昌刪定的。我們認為耿壽昌刪補《九章算術(shù)》的年代可以定為這部書完成的年代。

貢獻影響

《九章算術(shù)》是由國家組織力量編纂的一部官方性數(shù)學(xué)教科書，對兩漢時期數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了很大的影響。《廣韻》卷四有“九章術(shù)，漢許商、杜志、吳陳熾、王粲并善之”，《后漢書·馬援傳》有馬續(xù)（約70～141年）“博觀群籍，善九章算術(shù)”負記載。此外，史書中還有鄭玄（127～200年）、劉洪等人“通九章算術(shù)”的記述?？芍摃钱?dāng)時學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要教材，在東漢光和二年（179）一塊銅版上的銘文規(guī)定：“大司農(nóng)以戊寅（138？）詔書，……特更為諸州作銅斗、斜、稱。依黃鐘律歷，《九章算術(shù)》以均長短、輕重、大小，以齊七政，令海內(nèi)都同。”這說明該書在東漢時期不僅廣為流傳，而且度量衡研制涉及的數(shù)學(xué)問題也要以書中的算法為依據(jù)。許商、杜志可能是《九章算書》成書后最早研究過該書的數(shù)學(xué)家。許商、杜志都是西漢后期的數(shù)學(xué)家?！稘h書·藝文志》著錄有《許商算術(shù)》26卷、《杜志算術(shù)》16卷。這兩部書都是漢成帝三年（前26）尹咸校對數(shù)術(shù)著作之前撰寫的。許商、杜志的著作完成年代與耿壽昌刪補《九章算術(shù)》的年代相去不遠，他們的數(shù)學(xué)著作應(yīng)當(dāng)是在研究了《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上完成的。

《九章算術(shù)》不僅在中國數(shù)學(xué)史上占有重要地位，對世界數(shù)學(xué)的發(fā)展也有著重要的貢獻。分數(shù)理論及其完整的算法，比例和比例分配算法，面積和體積算法，以及各類應(yīng)用問題的解法，在書中的方田、粟米、衰分、商功、均輸?shù)日乱延辛讼喈?dāng)詳備的敘述。而少廣、盈不足、方程、勾股等章中的開立方法、盈不足術(shù)（雙假設(shè)法）、正負數(shù)概念、線性聯(lián)立方程組解法、整數(shù)勾股弦的一般公式等內(nèi)容都是世界數(shù)學(xué)史上的卓越成就。 傳本《九章算術(shù)》有劉徽注和唐李淳風(fēng)等的注釋。

劉徽是中國古代杰出的數(shù)學(xué)家，他生活在三國時代的魏國。《隋書·律歷志》論歷代量制引商功章注，說“魏陳留王景元四年（263）劉徽注《九章》?！彼纳讲豢稍斂?。劉徽的《九章》注不僅在整理古代數(shù)學(xué)體系和完善古算 理論方面取得了重要成就，而且提出了豐富多彩的創(chuàng)見和發(fā)明。劉徽在算術(shù)、代數(shù)、幾何等方面都有杰出的貢獻。例如，他用比率理論建立了數(shù)與式的統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)，他應(yīng)用了出入相補原理和極限方法解決了許多面積和體積問題，建立了獨具風(fēng)格的面積和體積理論。他對《九章》中的許多結(jié)論給出了嚴格的證明，他的一些方法對后世有很大啟發(fā)，即使對現(xiàn)今數(shù)學(xué)也有可借鑒之處。

主要成就

劉徽的數(shù)學(xué)成就大致為兩方面：

一是整理中國古代數(shù)學(xué)體系并奠定了它的理論基礎(chǔ)，這方面集中體現(xiàn)在《九章算術(shù)注》中。它實已形成為一個比較完整的理論體系：

數(shù)系理論

用數(shù)的同類與異類闡述了通分、約分、四則運算，以及繁分數(shù)化簡等的運算法則；在開方術(shù) 的注釋中，他從開方不盡的意義出發(fā)，論述了無理方根的存在，并引進了新數(shù)，創(chuàng)造了用十進分數(shù)無限逼近無理根的方法。

在籌式演算理論方面， 先給率以比較明確的定義，又以遍乘、通約、齊同等三種基本運算為基礎(chǔ)，建立了數(shù)與式運算的統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)，他還用“率”來定義中國古代數(shù)學(xué)中的“方程”，即現(xiàn)代數(shù)學(xué)中線性方程組的增廣矩陣。

在勾股理論方面逐一論證了有關(guān)勾股定理與解勾股形的計算原理，建立了相似勾股形理論，發(fā)展了勾股測量術(shù)，通過對“勾中容橫”與“股中容直”之類的典型圖形的論析，形成了中國特色的相似理論。

面積與體積理論

用出入相補、以盈補虛的原理及“割圓術(shù)”的極限方法提出了劉徽原理，并解決了多種幾何形、幾何體的面積、體積計算問題。這些方面的理論價值至今仍閃爍著余輝。

二是在繼承的基礎(chǔ)上提出了自己的創(chuàng)見。這方面主要體現(xiàn)為以下幾項有代表性的創(chuàng)見：

割圓術(shù)與圓周率， 他在《九章算術(shù) 圓田術(shù)》注中，用割圓術(shù)證明了圓面積的精確公式，并給出了計算圓周率的科學(xué)方法。他首先從圓內(nèi)接六邊形開始割圓，每次邊數(shù)倍增，算到192邊形的面積，得到π=157/50=3.14，又算到3072邊形的面積，得到π=3927/1250=3.1416，稱為“徽率”。

劉徽原理在《九章算術(shù)陽馬術(shù)》注中，他在用無限分割的方法解決錐體體積時，提出了關(guān)于多面體體積計算的劉徽原理。

“牟合方蓋”說

在《九章算術(shù)開立圓術(shù)》注中，他指出了球體積公式V=9D3/16(D為球直徑)的不精確性，并引入了“牟合方蓋”這一著名的幾何模型?！澳埠戏缴w”是指正方體的兩個軸互相垂直的內(nèi)切圓柱體的貫交部分。

方程新術(shù)

在《九章算術(shù)方程術(shù)》注中，他提出了解線性方程組的新方法，運用了比率算法的思想。

重差術(shù)

在自撰《海島算經(jīng)》中，他提出了重差術(shù)，采用了重表、連索和累矩等測高測遠方法。他還運用“類推衍化”的方法，使重差術(shù)由兩次測望，發(fā)展為“三望”、“四望”。而印度在7世紀，歐洲在15～16世紀才開始研究兩次測望的問題。劉徽的工作，不僅對中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠影響，而且在世界數(shù)學(xué)史上也確立了崇高的歷史地位。鑒于劉徽的巨大貢獻，所以不少書上把他稱作“中國數(shù)學(xué)史上的牛頓”。